Главная / Математика / Локальная теорема существования и единственности решения задачи коши

Локальная теорема существования и единственности решения задачи коши

Метод последовательных приближений Пикара. Существенность условий теоремы.

1 Рассмотрим n – мерное дифференциальное уравнение первого порядка

X΄ =V(t, x) (1) с полем скоростей V(t, x):U®Rn, (2) где U – часть Rn+1, которую мы будем считать областью, т. е. открытым односвязным множеством .

Функция (2), так же, как и ее частную производную по x считаем непрерывными функциями на множестве U: V(t, x)ÎC(U), (¶V/¶x)(t, x)ÎC(U). (3) Напомним, что в координатной форме уравнение (1) имеет вид x΄i = Vi(t, x1,x2,…,xn) (i = 1,2,…n) (1΄) и задается n числовыми функциями

Vi(t, x1,x2,…,xn):U®R (i = 1,2,…n) (2΄). Производная ¶V/¶x в координатной форме представляет собой матрицу Якоби вида n´n с элементами (¶Vi/¶xj)(t, x1,x2,…,xn) (i, j = 1,2,…n). Так что в условиях (3) речь идет о непрерывности n числовых функций Vi и n² числовых функций ¶Vi/¶xj переменных t, x1,x2,…,xn, меняющихся в области U.

2 В предыдущей главе мы видели, что естественным способом выделения конкретного решения уравнения (1) является задание начального условия, т. е. формулировка задачи Коши. Логика процесса получения ее решения чаще всего была такова: предполагая, что решение существует, мы показывали, что оно иметь тот или иной конкретный вид; затем убеждались непосредственной подстановкой в уравнение, что это действительно решение задачи Коши. Как правило, нам удавалось показать, что такое решение единственно (если говорить о непродолжаемом решении). Теперь мы собираемся дать

Довольно общие достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема (локальная теорема существования и единственности). В условиях 1-го пункта для любых начальных данных (t0,x0)ÎU существует непустой интервал |t-t0|<a, на котором определено решение

X = j(t) (4) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию j(t0) = x0. (5) На указанном интервале такое решение единственно (см. рис. 1 стр. 37). Закончив формулировку теоремы, напомним, что в координатной форме решение (4) имеет вид xi = ji(t) (i = 1,2,..n) (4΄) а условие (5) – вид ji(t) = x0i (i = 1,2,…n) (5΄).

3 Идея доказательства теоремы состоит в сведении задачи (1), (5) к уравнению вида x = A*x со сжимающим оператором A в некотором полном метрическом пространстве функций. После этого останется воспользоваться известным принципом сжимающих отображений.

4 в доказательстве теоремы мы использовали содержание принципа сжимающих отображений лишь частично. Помимо утверждения о существовании и единственности решения уравнения x = A*x, имеется и конструктивная часть – способ приближенного нахождения этого решения с любой заданной точностью ( в смысле метрики пространства М, в котором действует оператор А). Применительно к нашей задаче Коши на интервале ½t-t0½£ a он выглядит следующим образом. Взяв произвольную функцию j(0)(t)ÎM, построим бесконечную последовательность итераций

J(0)(t), j(1)(t) = (A*j(0))(t),…, j(k+1)(t)= (Aj(k))(t),…(15). Эта последовательность сходится равномерно на интервале |t-t0 |£а, к решению задачи Коши (1),(5). (15) можно переписать в виде

J(k+1)(t0 = x0+ òt0t V(t, j(k)(t))dt (k = 0,1,2,…; j(0)(t)ÎM) (16). Итерации (16) называют Приближениями Пикара к решению задачи Коши (1), (5). Скорость сходимости последовательности приближений Пикара тем выше, чем меньше интервал |t-t0 |£а и скорость ¶V/¶x изменения по x поля скоростей.

5 Построим последовательность приближений Пикара для двух примеров уравнений.

В одномерном уравнении x΄ = V(t) (17) с непрерывной на интервале IÌR функцией V положим

j(0)(t) = x0. Тогда j(1)(t) = j(2)(t) =…=j(n)(t) =…=x0 + òt0t V(t)dt, (18) т. е. все итерации, начиная с j(1)(t), уже совпадают между собой и с точным решением задачи Коши для начальных данных t0ÎI, x0Î|R. Это понятно, если заметить, что итерация Пикара j(n)(t) всегда строится так, чтобы в точках ее графика поле направлений совпадало с полем направлений на графике предыдущей итерации j(n-1)(t) (при одинаковых t). А поле направлений (17)не зависит от x.

Для уравнения нормального размножения x΄ = k*x и начальных данных t0=0, x0Î|R итерации Пикара имеют вид j(0)(t) = x0; j(1)(t) = x0 + ò0t k*x0dt = x0*(1+k*t); j(2)(t) = x0 + ò0t k*(x0 + x0*kt)dt = x0*(1+k*t+k2*t2/2);……. j(n)(t) = x0*(1+k*t+k2*t2/2+…+kn*tn/n!);… и определены при всех tÎ|R. Они оказываются частичными суммами степенного ряда для точного решения j(t) = x0*ek*t данной задачи Коши.

6 Существенность условий теоремы. Попробуем отказаться от условия непрерывности поля V(t, x). Примеры уравнений x΄ = 1/t при t¹0 x = 0 при t=0 (разрыв второго рода функции V(t, x) при t = 0 и

X΄ = 1 при x£0, x’ = 0 при x>0 (Разрыв первого рода в точках x = 0) показывают, что это может привести к отсутствию решения задачи Коши с начальными данными в точке разрыва. Если же сохранить условие непрерывности V, но отбросить условие непрерывности ¶V/¶x, то пример уравнения x = x2/3 говорит о том, что исчезает гарантия единственности решения задачи Коши. в самом деле, для рассматриваемого уравнения ¶V/¶x = 2/3* x-1/3 не существует при x = 0. И мы видим, что решение задачи Коши с начальными данными t0ÎR, x0 = 0 не единственно, таких решений минимум два: xº0, x = (t – t0)3/3 ( на самом деле бесконечно много). Именно условие непрерывности ¶V/¶x ответственно за единственность решения задачи Коши. Такой вывод следует из того, что теорему существования (без гарантии единственности) можно доказать и без этого условия, ограничившись лишь требованием непрерывности функции V(t, x) в открытом множестве U. Это доказательство осуществляется другим методом (ломаные Эйлера).