Главная / Математика / Полноразмерный наблюдатель

Полноразмерный наблюдатель

Если порядок наблюдателя равен порядку объекта, то целесообразно положить T = Е. Тогда из (28) имеем

F = ALC. (31)

Таким образом, полноразмерный наблюдатель однозначно определяется матрицей LNXR:

, (32)

При этом L необходимо выбирать таким образом, чтобы собственные числа матрицы (ALC) отличались бы от собственных чисел матрицы А. Для полностью наблюдаемого объекта это всегда возможно.

Как видно из уравнения (32) полноразмерного наблюдателя, структура наблюдателя включает модель объекта плюс обратную связь через матрицу L от разности выходных сигналов Y(t) объекта и его модели Lz(t). Структурная схема замкнутой системы, состоящей из объекта управления, полноразмерного наблюдателя и регулятора К по переменным вектора состояния изображена на рис.2.

Рис.2.

Полноразмерный наблюдатель и фильтр Калмана имеют одинаковую структуру. Если матрицу L выбрать из условия наилучшего подавления шумов, то это будет фильтр Калмана.

Динамика замкнутой системы с полноразмерным наблюдателем и регулятором с матрицей К описывается следующей системой уравнений:

(33)

Вычитая из первого уравнения третье и учитывая, что E(t) = x(t) – z(T), после преобразования получим

(34)

Матрица замкнутой системы

(35)

Блочная треугольная. Характеристические числа матрицы (35) определяются диагональными блоками (ABK) и (ALC). Налицо две группы корней характеристического уравнения.

Первая определяется объектом с регулятором K, вторая – наблюдателем. Таким образом, наблюдатель не влияет на корни замкнутой системы, а лишь добавляет свои. Обычно корни наблюдателя стараются расположить левее корней объекта с регулятором, чтобы динамика наблюдателя не сильно сказывалась на динамике всей системы.

В случае точной модели объекта управления, отсутствия измерительных шумов и случайного воздействия на объект управления рассогласование сигналов объекта и наблюдателя исчезает вскоре после включения. И в дальнейшем динамические свойства наблюдателя не оказывают какого-либо влияния на переходные процессы системы объект-регулятор.

Расчет матрицы L полноразмерного наблюдателя удобно производить методом модального управления для сопряженной системы.

Собственные числа матрицы A – LC замкнутого наблюдателя не изменятся после ее транспонирования. Матрица соответствует сопряженной системе, где – входная матрица, а – матрица обратных связей по вектору состояния. Используя функции AcKEr или Place, решаем задачу модального управления для полноразмерного наблюдателя

Здесь LН – столбец желаемых корней наблюдателя.

Пример. Рассчитать полноразмерный наблюдатель для объекта

.

Длительность переходных процессов наблюдателя должна быть не более
1 с. Нарисовать схему моделирования объект-наблюдатель.

Решение: Объект полностью наблюдаем, так как

.

Так как выход объекта – скаляр, то матрица L, характеризующая вход наблюдателя, будет иметь размеры (2×1), т. е. . Матрица

Наблюдателя определяет его динамику и характеристический полином наблюдателя имеет вид

.

Неизвестные элементы матрицы L могут быть найдены из сравнения полученного полинома с желаемым. Пусть для нас желательно иметь в наблюдателе апериодические переходные процессы. Длительность их для более точного оценивания динамического состояния объекта должна быть меньше, чем длительность переходных процессов объекта, пусть она будет не более 0,4 с. Из табл. 3 0tn = 4,8, откуда 0 = 4,8/0,275 = 17,5.

Желаемый полином

S2 + 35s + 306,25.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим

3 + l1 = 35, l1 = 32,

2 + 2l1 + 2l2 = 306,25, l2 = 120,125.

Искомое наблюдающее устройство описывается уравнением

,

А структурная схема объекта управления и наблюдателя изображена на Рис.3

Рис.3