Главная / Математика / Преобразование моделей к каноническим формам

Преобразование моделей к каноническим формам

Модель объекта управления, записанная уравнениями состояния

(1)

Где X(t) Î Rn , Y(t)Î Rr , U(t)Î Rm – соответственно вектор состояния, входной и выходной векторы; A, B, C, – произвольные матрицы соответствующих размерностей, не является наиболее удобной для решения задач синтеза и анализа. Поэтому обычно стремятся преобразовать данную модель к некоторым каноническим формам с определенной структурой матрицы А, с которыми проще и легче работать.

Наиболее интересны для практики трехдиагональная, треугольная, диагонализированная (при различных собственных числах lI матрицы А) и сопровождающие формы матрицы A.

Широко используется сопровождающие канонические формы в силу их прямой связи с характеристическим уравнением. У строчной сопровождающей (в фазовых переменных) формы матрицы А и В имеют вид

, (2)

Где Аi, I = 1,N, являются коэффициентами характеристического уравнения

Det(LE-A) = LN +a1LN-1 + a2LN-2 + a3LN-3 +… an = 0. (3)

Преобразования в канонические формы осуществляются линейной подстановкой вида

X = Mz, (4)

Где М – неособенная матрица, составленная определенным образом.

Модель объекта управления (1) при этом преобразуется к виду

Или в обозначениях АП = М-1АМ, ВП = М-1В, СП = СМ,

. (5)

Преобразование (4) может быть выполнено функцией Ss2Ss

>> [ AП,BП,CП,DП ] = SS2SS(A, B, C, D, M).

Отметим, что преобразование (4) не изменяет качественных свойств модели и результаты, полученные для (5), полностью справедливы и для (1).