Типовые расположения корней

Рассмотрим варианты расположения корней, характеризуемых геометрическим расположением (I и II), интегральным критерием по переходному процессу (III), минимальной длительностью переходного процесса без перерегулирования (IV).

I – все корни действительные, равные с модулем . Переходные процессы в замкнутой системе – монотонные.

II – все корни располагаются на полуокружности радиусом  в левой полуплоскости симметрично относительно действительной оси. Расстояние между соседними корнями , где N – порядок системы. Такое расположение – система Баттерворта [6, 7] – характеризуется частотной характеристикой без выбросов, т. е. показателем колебательности М = 1.

III – систему с оптимальным переходным процессом по критерию минимума функционала J

(5)

Предложили Грехем и Латроп [6, 7]. Переходные процессы идут быстро и с малым перерегулированием.

В работе Яворского [7] приводятся семейства уравнений до восьмого порядка с характеристиками переходных процессов. Выбранные из семейства уравнения с переходными процессами без перерегулирования с минимальной длительностью образовали вариант IV.

Для сравнения вариантов удобно ввести нормированное время :

 = 0t ; (13)

Где 0 является среднегеометрическим модулем корней.

Тогда характеристическое уравнение (11) будет иметь нормированные коэффициенты , I = 1,…,n, умноженные на 0 в соответствующей степени.

LN +a10 LN-1 + a20 2LN-2 + a30 3LN-3 +…+an-10 n-1L+0 n = 0. (14)

Набор коэффициентов , I = 1,…,n задает форму переходного процесса, а изменение 0 приводит к изменению длительности переходного процесса без изменения его формы. Таким образом, варианты уравнений удобно сравнивать по нормированной длительности 0tn переходного процесса и величине перерегулирования S.

Так как всегда , то , а остальные коэффициенты уравнений (11) и (14) связаны соотношением

, I = 1, 2, 3,…, n-1. (15)

Значения нормированных коэффициентов характеристического уравнения систем до восьмого порядка для всех вариантов расположения корней приведены в табл. 3. Там же приведены значения длительности 0tn нормированных переходных процессов и величин перерегулированияS, минимальным значениям которых соответствуют варианты III и IV.

Отметим, что приведенные в табл.3 характеристики переходных процессов соответствуют передаточным функциям, не имеющим нулей. В противном случае вид переходных процессов будет несколько иным. Однако и в этом случае можно пользоваться приведенными расположениями корней, принимая их за некоторые исходные.

Если желаемое расположение задано не коэффициентами характеристического уравнения, а непосредственно корнями , то переход от корней к коэффициентам можно осуществить по формулам Виетта:

Функция Poly вычисляет строку A коэффициентов Ai , если задан столбец L корней LI:

>> a = poly(L).

Таблица 3

Записи по теме

• Функции пакета matlab (2)
• Оптимизация (2)
• Методологические основы политологии и её функции в обществе (1)
• Причины возникновения и общая характеристика когнитивной психологии (1)
• Понятие политический процесс, его сущность и формы (1)