Учись Как На Парах! Помощь студентам в учёбе
Рассмотрим варианты расположения корней, характеризуемых геометрическим расположением (I и II), интегральным критерием по переходному процессу (III), минимальной длительностью переходного процесса без перерегулирования (IV).
I – все корни действительные, равные с модулем . Переходные процессы в замкнутой системе – монотонные.
II – все корни располагаются на полуокружности радиусом в левой полуплоскости симметрично относительно действительной оси. Расстояние между соседними корнями 
, где N – порядок системы. Такое расположение – система Баттерворта [6, 7] – характеризуется частотной характеристикой без выбросов, т. е. показателем колебательности М = 1.
III – систему с оптимальным переходным процессом по критерию минимума функционала J
(5)
Предложили Грехем и Латроп [6, 7]. Переходные процессы идут быстро и с малым перерегулированием.
В работе Яворского [7] приводятся семейства уравнений до восьмого порядка с характеристиками переходных процессов. Выбранные из семейства уравнения с переходными процессами без перерегулирования с минимальной длительностью образовали вариант IV.
Для сравнения вариантов удобно ввести нормированное время :
= 0t ; (13)
Где 0 является среднегеометрическим модулем корней.
Тогда характеристическое уравнение (11) будет иметь нормированные коэффициенты 
, I = 1,…,n, умноженные на 0 в соответствующей степени.
LN +a10 LN-1 + a20 2LN-2 + a30 3LN-3 +…+an-10 n-1L+0 n = 0. (14)
Набор коэффициентов , I = 1,…,n задает форму переходного процесса, а изменение 0 приводит к изменению длительности переходного процесса без изменения его формы. Таким образом, варианты уравнений удобно сравнивать по нормированной длительности 0tn переходного процесса и величине перерегулирования S.
Так как всегда 
, то 
, а остальные коэффициенты уравнений (11) и (14) связаны соотношением
, I = 1, 2, 3,…, n-1. (15)
Значения нормированных коэффициентов характеристического уравнения систем до восьмого порядка для всех вариантов расположения корней приведены в табл. 3. Там же приведены значения длительности 0tn нормированных переходных процессов и величин перерегулированияS, минимальным значениям которых соответствуют варианты III и IV.
Отметим, что приведенные в табл.3 характеристики переходных процессов соответствуют передаточным функциям, не имеющим нулей. В противном случае вид переходных процессов будет несколько иным. Однако и в этом случае можно пользоваться приведенными расположениями корней, принимая их за некоторые исходные.
Если желаемое расположение задано не коэффициентами характеристического уравнения, а непосредственно корнями 
, то переход от корней к коэффициентам можно осуществить по формулам Виетта:
Функция Poly вычисляет строку A коэффициентов Ai , если задан столбец L корней LI:
>> a = poly(L).
Таблица 3
|
Ва-ри- |
По-ря- |
Переходный процесс |
Коэффициенты нормированных уравнений |
|||||||
|
Ант |
Док |
0tn |
S % |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
2 3 4 5 6 7 8 |
4,8 6,3 7,5 9,1 10,6 11,8 12,7 |
2 3 4 5 6 7 8 |
3 6 10 15 21 28 |
4 10 20 35 70 |
5 15 35 70 |
6 21 56 |
7 28 |
8 |
|
|
II |
2 3 4 5 6 7 8 |
2,8 5,9 6,9 7,8 8 10,8 11,5 |
4,5 7,1 12 9,5 12 17,2 18 |
1,4 2 2,6 3,24 3,86 4,5 5,12 |
2 3,4 5,24 7,46 10,1 13,14 |
2,6 5,24 9,13 14,6 21,84 |
3,24 7,46 14,6 25,69 |
3,86 10,1 21,84 |
4,5 13,14 |
5,12 |
|
III |
2 3 4 5 6 7 8 |
2,8 3,6 4,7 5,2 5,4 7,7 10 |
4,5 3 10,2 2,5 3 6,4 12,1 |
1,4 1,75 2,1 2,8 3,25 4,475 5,2 |
2,15 3,4 5 6,6 10,42 12,8 |
2,7 5,5 8,60 15,08 21,6 |
3,4 7,45 15,54 25,75 |
3,95 10,64 22,2 |
4,58 13,3 |
5,15 |
|
IV |
2 3 4 5 6 7 8 |
4 4,3 5,2 5,9 7,4 8,1 9 |
1,78 1,98 3,37 4,04 4,07 6,17 6,04 |
2,38 4,87 8,03 8,75 16,45 18,16 |
3,48 8,07 11,4 25 32,6 |
4,43 9,4 24,1 42,7 |
4,61 15,05 36,1 |
5,72 20,2 |
6,73 |
