Главная / Моделирование систем / Проверка результатов моделирования с помощью аналитического расчета

Проверка результатов моделирования с помощью аналитического расчета

Если метод Монте-Карло применяется для моделирования достаточно несложной системы, то результаты моделирования могут быть проверены с помощью аналитического расчета. Для этого используются формулы, известные из теории вероятностей и математической статистики. Ниже приводятся некоторые из этих формул.

1. Формула умножения вероятностей (вероятность того, что произойдет и событие A, и событие B):

P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) , (1.2)

Где P(A), P(B) — вероятности событий A и B;

P(B/A) — условная вероятность события B (т. е. вероятность события B

при условии, что произошло событие A);

P(A/B) — условная вероятность события A (т. е. вероятность события A

при условии, что произошло событие B).

Если события A и B независимы (т. е. вероятность одного события не зависит от того, произошло ли другое событие), то формула умножения вероятностей записывается следующим образом:

P(AB) = P(A)P(B) . (1.3)

Формула умножения вероятностей для нескольких событий (вероятность того, что произойдут все заданные события вместе):

P(A1A2…An) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1,A2)…P(An/A1,A2,…,An-1). (1.4)

2. Формула сложения вероятностей (вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий):

P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB) . (1.5)

Если события A и B несовместны (т. е. не могут произойти вместе; тогда P(AB)=0), то формула сложения вероятностей записывается так:

P(A+B) = P(A) + P(B). (1.6)

Формула сложения вероятностей для нескольких событий обычно записывается в следующем виде:

P(A1+A2+…+An) = , (1.7)

Где — вероятность того, что не произойдет ни одного из событий A1,A2,…,An; ее можно найти, например, по формуле умножения вероятностей.

Если в задаче используются случайные величины, то для аналитического расчета обычно требуется использовать их математические ожидания и другие числовые характеристики.

Приведем аналитический расчет для примера 1.5. Для удобства записи введем обозначения: A — в изделии допущен брак A; B — в изделии допущен брак B; C — брак A устранен; D — брак B устранен.

Вероятность того, что изделие будет выпущено без брака:

P() = 1 — P(A+B) = 1 — (P(A) + P(B)) = 1-(0,05+0,09)=0,86.

Вероятность того, что изделие будет выпущено с браком, но он будет устранен:

P() = 0,05*0,6 = 0,03 — для брака A;

P() = 0,09*0,8 = 0,072 — для брака B.

Вероятность того, что изделие будет выпущено с браком, и он не будет устранен:

P() = 0,05*0,4 = 0,02 — для брака A;

P() = 0,09*0,2 = 0,018 — для брака B.

Прибыль от выпуска 10000 изделий:

Z = 70*10000*(1-P()-P()) — 50*10000 — 15*10000*(1-P()) =

= 152400 д. е.

Как видно, результаты аналитического расчета практически совпадают с результатами моделирования.