Главная / Моделирование систем / Имитация гауссовского распределения

Имитация гауссовского распределения

НСВ имеет гауссовское (нормальное) распределение, если ее плотность распределения задается следующим выражением:

,

Где m — математическое ожидание гауссовской НСВ, а s — ее среднеквадратическое отклонение (иногда используется термин "стандартное отклонение").

Гауссовское распределение — одно из наиболее распространенных распределений НСВ. Например, любая НСВ, представляющая собой сумму большого количества независимых НСВ, имеющих примерно одинаковые значения, распределена по закону, близкому к гауссовскому.

Гауссовская НСВ теоретически может принимать любые значения (от -¥ до +¥). Однако с вероятностью 0,997 гауссовская НСВ принимает значения в диапазоне [m-3s; m+3s] (правило "трех сигм").

Использование метода обратных функций для имитации гауссовской НСВ затруднено, так как для такой НСВ невозможно аналитически записать функцию распределения (интеграл от плотности распределения f(x) — неберущийся). Поэтому для имитации гауссовских НСВ разработан специальный алгоритм. Он основывается на следующем утверждении, доказываемом методами теории вероятностей: сумма n СРРЧ R (при достаточно большом n) имеет распределение, близкое к гауссовскому, с m=n/2 и . Из этого утверждения может быть выведена следующая формула для имитации гауссовской НСВ с математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением s:

, (1.20)

Где n — количество используемых при имитации СРРЧ.

Чем больше СРРЧ R суммируется (чем больше n), тем выше точность имитации. Для практических задач достаточная точность достигается при n=6. В этом случае формулу (1.20) можно записать в виде:

. (1.21)

Как видно, при использовании формулы (1.21) для имитации каждого значения гауссовской НСВ требуется разыгрывать шесть СРРЧ R.

Для имитации гауссовских НСВ может также применяться метод исключений. В качестве диапазона значений гауссовской НСВ в этом случае используется диапазон [m-3s; m+3s] (так как, по правилу “трех сигм”, почти все значения гауссовской НСВ попадают в этот диапазон). Максимальное значение плотности распределения для гауссовской НСВ